La diversidad de los infinitos: unos son grandes y otros aún más grandes

De verdad, unos son grandes y otros aún más grandes

En la actualidad sus ideas son aceptadas por la comunidad matemática mundial, aunque en el siglo XX todavía había reticencias de grandes matemáticos como Bertrand Russell. El reconocimiento viene después de la muerte. Otros genios como Tesla y Van Gogh también padecieron de lo mismo.

Cantor desarrolló el concepto de cardinalidad, que se refiere al número de elementos contenidos en un conjunto, según Carlos Armando Cuevas Vallejo, investigador en matemática educativa, del Centro de Investigación y de Estudios Avanzados (Cinvestav).

“En la cardinalidad de conjuntos finitos no hay problema: un conjunto con 10 elementos tiene cardinalidad de 10. Pero ya con un conjunto infinito, ¿a qué nos referimos con cardinalidad?”, expresa.

Y cuando un conjunto infinito es mayor que otro conjunto infinito, ¿a qué nos referimos con esas cardinalidades? ¿Son iguales o son distintas? Aquel gran matemático de finales del siglo XIX dio las respuestas.

“Cantor estableció que había conjuntos más infinitos que otros, o sea, más grandes, en ese sentido de cardinalidad, de contención de elementos”, comenta Cuevas Vallejo.

Podemos sin problema partir del supuesto de que un conjunto de 12 ciruelas tiene cardinalidad igual a 12, y luego tomar esto de referencia para contar conjuntos más grandes de ciruelas. ¿No? Cantor hizo algo parecido, pero con conjuntos infinitos.

Él supuso que el conjunto de los números naturales (el de 1,2,3…) es infinito. Su cardinalidad asociada la llamó “aleph cero”. Éste fue el punto de partida para contar otros infinitos.

Luego Cantor probó que el conjunto infinito de los números reales [el de todos los números de la recta numérica, incluyendo naturales, fracciones e irracionales como raíz de dos (√2) y Pi (π)] es mayor que el conjunto infinito de los números naturales.

Hay huecos en la recta numérica

¿Cómo entender esto? Ana Isabel Sacristán Rock, investigadora en matemática educativa, del Cinvestav, lo explica.

Ella cuenta que, por ejemplo, entre el conjunto de los números naturales y el conjunto de los números pares positivos se puede establecer una relación uno a uno, de la siguiente manera: 1 está asociado con 2, 2 con 4, 3 con 6 y así sucesivamente.

Esto quiere decir que ambos conjuntos, infinitos por cierto, tienen el mismo número de elementos. Así como, en el caso finito, un conjunto de 20 canicas tiene la misma cardinalidad que un conjunto de 20 botones, porque entre ambos se puede establecer una relación uno a uno entre canicas y botones.

Sin embargo, con el conjunto de los números reales pasa algo extraño, pues ya no se puede poner en correspondencia uno a uno con el conjunto de los números naturales, porque siempre quedan números reales sobrando.

“En los números reales existe la densidad. Esto quiere decir que entre dos de estos números siempre se puede encontrar otro número. Los números racionales (fracciones) también son densos y se pueden poner en relación uno a uno con los naturales; esto es, se pueden contar. Pero los reales, que son los racionales junto con los irracionales (raíz de dos (√2), Pi (π), etc.) ya no se pueden contar, no son numerables", expresa Sacristán Rock.

Esta observación es clave, sobre todo si recordamos que entre dos números naturales, digamos 1 y 2, no hay ningún número natural entre ellos. Es como si los números naturales tuvieran huecos, como si fueran puro cascarón, mientras que los números reales serían la clara (los racionales) y la yema (los irracionales).

Recapitulando, los números reales nunca se terminan de contar. Este conjunto no tiene huecos, pero el conjunto de los naturales sí los tiene.

“Y entonces por eso es un infinito (el de los números reales) más grande que el infinito de los naturales”, asevera esta investigadora del Cinvestav.

La esponja con agujeros

Visto así, ya no parece tan descabellada la idea. Un infinito sin huecos es más grande que un infinito con huecos, lo cual despierta la mente metafórica de Camilo Camjahi García, matemático de la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM).

“Es como si se quisiera rellenar el hueco en una pared con pasta, pero resultara que la pasta está llena de huecos, como si la pasta fuera un rellenador con hoyos, como si fuera una esponja”.

Entonces, siguiendo esta imagen, la cantidad de hoyos en la pasta es más grande que el hoyo de la pared que se quería inicialmente tapar.

“Por esto, si se quiere contar la cantidad de huecos, se necesita un infinito más grande, al cual Cantor llamó aleph uno (la cardinalidad de los números reales), y es más grande que aleph cero (la cardinalidad de los números naturales)”, aclara Camhaji García.

¡Genial! Ahora ya tenemos nuestros primeros números transfinitos: aleph cero y aleph uno, con los cuales ya se puede crear un nuevo mundo matemático. Esto gracias a Georg Cantor.

Los números monstruosos

A partir de estas conclusiones se empezaron a generar otros números transfinitos más grandes, los cuales ya cuesta trabajo encontrarles parangón con paredes y rellenadores que parecen esponjas. Son conceptos difíciles de imaginar, de acuerdo con Alejandro R. Garciadiego, profesor de Historia de las Matemáticas, en la Facultad de Ciencias, de la UNAM.

“Hay otros números transfinitos que se conocen como monstruosamente grandes, ya son números enormes, de esos no tenemos ningún ejemplo, ni siquiera matemático, que pudiera sugerir su cardinalidad”.

Ahora conviene enfriar la mente y recordar lo aprendido (o lo que se debió de haber aprendido) en las clases de teoría de conjuntos de la preparatoria.

El número 3, por ejemplo, corresponde a todos los conjuntos que tienen tres elementos; el número cuatro se refiere a todos los conjuntos que tienen cuatro elementos; y así por el estilo.

De esta manera, podemos decir que cuatro limones, cuatro aviones y cuatro planetas tienen algo común. ¿Qué es? ¡Sí, es el cuatro! En el caso de los números transfinitos es válido razonar de igual manera.

“Por ejemplo, aleph cero, el primero de los números que ya no son finitos, corresponde a todos los conjuntos que tienen el mismo tamaño de los números naturales”, puntualiza Garciadiego.

Entonces si suponemos que en el universo hay un conjunto infinito de estrellas, sería equivalente al conjunto de los números naturales, con cardinalidad aleph cero. No obstante, para contar los huecos entre las estrellas, ya haría falta el siguiente número transfinito: aleph uno.

¿Infinito actual o infinito potencial? He ahí la cuestión

Finalmente, estas disquisiciones están basadas en el axioma de que existen los conjuntos infinitos como objetos dados, como si fueran manzanas puestas sobre la mesa. Sin embargo, esto no necesariamente se tiene que acatar.

“Matemáticamente también se puede convenir que no existen los conjuntos infinitos y hacer una teoría de conjuntos que nada más funcione para conjuntos finitos”, precisa Garciadiego.

Esta última propuesta había prevalecido por milenios, porque Aristóteles (384 - 322 a.C.) partía del axioma de que el infinito no es como una manzana puesta sobre la mesa, sino más bien como una manzana que nunca termina de ponerse completamente sobre la mesa, ¡porque es infinita!

De ahí surgieron las nociones de infinito actual (el ya dado como una manzana) e infinito potencial (el que nunca termina de darse por completo), el cual fue defendido como único por Galileo Galilei, en el siglo XVII.

“Él dijo que no se podía encontrar ni comparar conjuntos infinitos (dados como manzanas), porque se llegaría a absurdos”, señala Garciadiego.

Pero justamente eso que Galileo consideró imposible, Georg Cantor lo estimó posible en la teoría que quiso transmitir a sus coetáneos, pero no le hicieron caso.

A partir de 1899 y hasta el final de sus días fue internado periódicamente en clínicas de reposo afectado por depresión. La incomprensión le causó mella, porque más que genio Cantor fue un alma sensible.